Kurs: ak,br Beschreibende Statistik

Kursthemen

Allgemeines

Alles einklappen Alles aufklappen
Beschreibende Statistik
- Um Daten in ihrer Gesamtheit zu erfassen und in ihrer Unterschiedlichkeit zu analysieren, werden sie durch Mittelwerts- und Streuungsmaße charakterisiert, in Klassifizierungen zusammengefasst und durch Modelle beschrieben.
- Der nachfolgende Lernkurs baut auf Unterlagen der "Einführung in die Statistik" von Gert Wolf (Universität Klagenfurt und Salzburg) auf. Wir danken für die Freigabe unter den CC-Lizenzen.
  
  Weiters stammen viele Inhalte von Bernd Resch (Universität Salzburg), der diese Lehrveranstaltung über viele Jahre gestaltet und weiterentwickelt hat. Wir danken für Möglichkeit der weiterführenden Nutzung.
- Motivierendes Einstiegsbeispiel Textseite
- Grundkompetenzen zur Statistik bei der schriftlichen Reifeprüfung Link/URL
  Zur Vorbereitung auf die schriftliche Reifeprüfung in Mathematik stellt das Bildungsministerium einen Aufgabenpool zur Verfügung, der auch Aufgaben zur beschreibenden Statistik enthält:
  
  WS1.1: Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
  
  Schulstufe 9: https://gwb.schule.at/mod/quiz/view.php?id=47144
  
  Schulstufe 10: https://gwb.schule.at/mod/quiz/view.php?id=47145
  
  WS 1.2: Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können
  
  Schulstufe 10: https://gwb.schule.at/mod/quiz/view.php?id=47162
  
  WS 1.3: statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können
  
  Schulstufe 10: https://gwb.schule.at/mod/quiz/view.php?id=47161
  
  WS 1.4: Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können
- Auszüge aus zwei Schulbüchern Datei
Einleitung und Motivation
Daten in ihrer Gesamtheit erfassen

Unterschiedlichkeiten analysieren

Trends erkennen

.

→ Mittelwerts- und Streuungsmaße

→ Klassifizierungen > Lektion "Gestaltung thematischer Karten mit ArcGIS-Online"

→ Beschreibung durch Modelle

→ > Lektion "Visualisierung in Diagrammen"
Häufigkeitsverteilung und Histogramm
Häufigkeitsverteilung

"Funktion" (stetig oder diskret) der Verteilung von Werten in einem Datensatz

grafische Darstellung der Verteilung eines Datensatzes geeignet zur statistischen Beschreibung von Datensätzen

Histogramm: Häufigkeitsverteilung kardinal skalierterMerkmale

Entscheidend für die Darstellung (diagrammatisch, kartografisch, etc.) und Interpretation eines Datensatzes!

https://www.youtube.com/watch?v=cBuxgw-ZvV0

https://chartio.com/learn/charts/histogram-complete-guide/
Statistische Maßskalen (Skalenniveaus)
- Informationen Textseite
  
  Die Ausprägungen einzelner Merkmale werden anhand von Skalen gemessen, welche sich aufgrund ihrer formalen Eigenschaften einem von vier verschiedenen Skalentypen zuordnen lassen. Die vier Skalentypen, welche man in Anlehnung an STEVENS (1946) als Nominal-, Ordinal-, Intervall- und Rationalskala bezeichnet [1], unterscheiden sich voneinander dadurch, dass je nach Skalentyp Beziehungen unterschiedlicher Qualität zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen hergestellt werden können.
  
  Diese Zuordnung einer Skala zu einem Skalentyp ist insofern von grundlegender Bedeutung, da durch diesen automatisch jene statistischen Techniken festgelegt werden, welche man auf die Variable, deren Ausprägungen anhand der jeweiligen Skala gemessen worden sind, anwenden darf.
- Übung. Textseite
- Lösung Textseite
- Video zur Erklärung Link/URL
  
  Thomas Schöftner (2016) Variablenarten nach Ihem Skalenniveau unterscheiden.- Linz. Video. Web: https://youtu.be/gTJ5O5GNzt4 (22.11.2017)
- Bestimmung von Skalenniveaus Feedback
- key: Skalen defnieren Textseite
- Linktipp: Universität Zürich (2017) Skriptum zur Statistik. Link/URL
  
  Linktipp: Universität Zürich (2017) Methodenberatung. Zürich. Web: http://www.methodenberatung.uzh.ch/de.html (22.11.2017)
- Ergänzung: qualitative vs. quantitative Variablen
  
  Qualitativ: Ausprägungen kennzeichnen qualitativ verschiedene Eigenschaften (Kategorien)
  → Nominal- & Ordinalskala
  
  Quantitativ: Ausprägungen bestimmen das Ausmaß (die Quantität) einer bestimmten Eigenschaft
  → Intervall- & Verhältnisskala
  
  → Ordinalskala: nicht eindeutig (Ausmaß vorhanden, aber nicht nummerisch bestimmbar)
Diskrete und stetige Merkmale
- Neben der zuvor besprochenen Unterteilungsmöglichkeit von Variablen in nominal-, ordinal-, intervall- und rationalskalierte, welche im Hinblick auf praktische Anwendungen zweifelsohne als die bedeutendste angesehen werden kann, existieren noch zahlreiche weitere Arten, Merkmale zu klassifizieren. Von diesen Klassifikationsmöglichkeiten ist die Unterscheidung in diskrete und stetigen Variablen von grundlegender Bedeutung.
  
  (statistisch) diskrete Variable (engl. discrete variable), das sind Variable, welche nur endlich viele Merkmalsausprägungen besitzen, und
  
  (statistisch)stetige Variable (engl. continuous variable), das sind Variable, welche - zumindest in einem bestimmten Intervall - jede beliebige und somit unendlich viele Merkmalsausprägungen annehmen können,
  
  Diskrete Variable sind beispielsweise die Merkmale „Beruf“, „Schulnote“ oder „Einkommen“, stetige Variable hingegen z. B. die Merkmale „Temperatur“, „Körpergewicht“ oder „Entfernung“.
  
  Als Folge der begrenzten Genauigkeit von Messinstrumenten lassen sich in der Praxis jedoch auch stetige Variable nur diskret erfassen; so ist z. B. die „Temperatur“ eine stetige Variable, welche allerdings nur so exakt gemessen werden kann, wie es das jeweilige Thermometer gestattet. Vice versa behandelt man häufig diskrete Variable wie stetige. So wird im Rahmen praktischer Aufgabenstellungen beispielsweise vorausgesetzt, dass es sich bei der Variablen „Einkommen“ nicht um eine diskrete (Ausprägungen: ganzzahlige positive Centbeträge), sondern um eine stetige handelt.
  
  Resümierend lässt sich zum zuletzt Gesagten somit festhalten, dass die - aus theoretischer Sicht problemlos erscheinende - Festlegung, ob es sich bei einer Variablen um eine diskrete oder um eine stetige handelt, im Rahmen praktischer Anwendungen in vielen Fällen nicht ohne weiteres möglich ist, sondern erst durch die konkrete Fragestellung entschieden wird.
  
  Im geografischen Kontext spricht man von geografisch stetigen Merkmalen, wenn jeder Ort auf der Erde eine Merkmalsausprägung besitzt (z. B. Umgebungstemperatur, Höhe, Druck) und von geografisch diskreten Merkmalen, wenn nur bestimmte Orte eine Merkmalsausprägung besitzen (z. B. Straßen, Bäume, Gewässer) oder diese Ausprägung in statistische Einheiten (Regionen) erfasst werden (z. B. Bevölkerungsdichte einer Gemeinde, Arbeitslosenquote einer Region, Wählerstimmen einer Partei in einem Zählsprengel).
- Übung. Textseite
- Lösung Textseite

Lageparameter - "Mittelwerte"

Definitionen Textseite

Als Lageparameter bezeichnet man jene Kennzahlen, deren Aufgabe die Charakterisierung der Lage einer Häufigkeitsverteilung durch einen zentralen Wert ist. Die meistverwendeten Lageparameter sind Modus, Median sowie arithmetisches und geometrisches Mittel.

Nachfolgende Tabelle enthält eine Zusammenfassung, wobei die für einen Skalentyp jeweils am besten geeigneten Parameter durch Fettschrift gekennzeichnet sind. Details entnehmen Sie bitte der Textseite im Link.

Skalentyp	Lageparameter
Nominalskala	Modus
Ordinalskala	Median, Modus
Intervallskala	arithmet. Mittel, Median, Modus
Rationalskala	geometr. Mittel, arithmet. Mittel, Median, Modus

Übungen Textseite
Beilage: Tabelle 2.1 Datei
Lösung Textseite
Verständnisfragen: Skalentypen bzw. Stat. Kennwerten Feedback

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Autor: Thomas Schöftner (2017). Linz
key: stat. Kennzahlen, Skalentypen Textseite

Streuungsparameter

Definitionen Textseite

Die Tabelle enthält eine Zusammenfassung, wobei die für einen Skalentyp jeweils am besten geeigneten Parameter durch Fettschrift gekennzeichnet sind. Details entnehmen Sie bitte der Textseite im Link.

Skalentyp	Streuungsparameter
Nominalskala	Keine
Ordinalskala	Spannweite
Intervallskala	Varianz, Standardabweichung, Spannweite
Rationalskala	Variationskoeffizient, Varianz, Standardabweichung, Spannweite

Für normalverteilte Merkmale gilt, dass innerhalb der Entfernung einer Standardabweichung nach oben und unten vom Mittelwert etwa 68,2% der Merkmalsausprägungen ("Messwerte") liegen, innerhalb von zwei Standardabweichungen etwa 95,4%.

Quelle: wikipedia.org
Beispiele Textseite
Beilage: Tab 2.2c Datei
Übungsaufgabe. Textseite
Lösung Textseite

Korrelation
- Grundverständnis Textseite
  Die Korrelationsanalyse hat die Aufgabe, die Art sowie die Stärke des Zusammenhanges zwischen den jeweiligen Variablen durch geeignete Maßzahlen zu charakterisieren.
  
  Wie die Theorie zeigt, können derartige Maßzahlen, welche man als Korrelationskoeffizienten bezeichnet, sowohl für ordinal- als auch für intervall- und rationalskalierte Variable ermittelt werden.
  
  .
  
  Alter vs. Gehalt: R stark positiv
  
  .
  
  Alter Ehemann vs. Alter Ehefrau: R stark positiv
  
  .
  
  Seehöhe vs. Umgebungstemperatur: R stark negativ
  
  .
  
  Arbeitslosenrate vs. Abstand bei der letzten Wahl: R ~ 0
- Zwei typische Beispiele einer Scheinkorrelation (engl. spurious correlation) Textseite
  
  1.) Störche und Geburtenrate
  
  2.) Schuhgröße und Einkommen
- Zur Bedeutung der Korrelationskoeffizienten. Textseite
  Die Bedeutung des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten für die Regressionsanalyse liegt darin, dass er wesentliche Information betreffend das Verhältnis zwischen gegebenen Daten und Regressionsgeraden enthält.
  
  Zum einen legt das Vorzeichen des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten fest, ob ein direkter oder indirekter Zusammenhang zwischen zwei Variablen besteht, und ob somit die Regressionsgerade monoton wächst (sofern r > 0 ist) oder monoton fällt (sofern r < 0 ist).
  
  Zum anderen bringt der Betrag des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten die Stärke des linearen Zusammenhanges zwischen zwei Merkmalen zum Ausdruck und stellt somit eine Maßzahl für die Güte der Approximation der gegebenen Datenpunkte durch die Regressionsgerade dar (siehe nachfolgende Abbildungen).
- Zwei Korrelationskoeffizienten:
  
  Pearson Correlation Coefficient (PCC, Pearson's r): Messung des Zusammenhanges zwischen intervall- bzw. rationalskalierten Variablen
  
  Spearman's Rank Correlation Coefficient (Spearman's $\rho$ $\rho$ /rho): Beurteilung des Zusammenhanges zwischen ordinalskalierten Merkmalen
- Der Korrelationskoeffizient von Pearson Textseite
- Zur Gültigkeit des Korrelationskoeffizienten. Textseite
- Kritische Werte des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten. Datei
- Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman Textseite
- Kritische Werte des Spearmanschen Korrelationskoeffizienten Datei
- Beispiel Textseite
- Räumliche Autokorrelation
  
  Die "Räumliche Autokorrelation" gibt an, ob verschiedene Regionen in Bezug auf ein dargestelltes Merkmal gehäuft ("Cluster"), regelmäßig oder zufällig im geographischen Raum verteilt sind.
  
  Das Werkzeug "Räumliche Autokorrelation" eines GIS gibt fünf Werte zurück: Moran's I-Index (Grad der Clusterung im Gesamtdatensatz), erwarteter Index, Standardabweichung/Varianz, z-Ergebnis (Signifikanzlevel der räumlichen Verteilung) und p-Wert (Indikator für Signifikanz).
  
  Wenn die Aussage signifikant ist (das z-Ergebnis oder der p-Wert auf statistische Bedeutung hinweist), zeigt ein positiver Moran's I-Indexwert eine Tendenz zur Cluster-Bildung und ein negativer Moran's I-Indexwert eine Tendenz zur Streuung an.
  
  Bildliche Darstellung der räumlichen Verteilung von Datensätzen:
  
  Zusammenhang zwischen Standardabweichung und räumlicher Autokorrelation
  
  z-Transformation: Erwartungswert 0, Standardabweichung 1
  
  Beispiel: Local Moran's I:
  
  Parameter
  
  n ... Anzahl der Punkte
  
  x_i ... Attributwert am Punkt i
  
  x_j ... Attributwert am Punkt j
  
  x̄ ... Mittelwert von x (aller Punkte)
  
  w_ij ... räumlicher Gewichtungsfaktor
  
  i != j
  
  Normalisierung über:
  
  Summe aller Gewichte
  
  Summe aller quadrierten Differenzen von x_i und x
  
  Schematisches Beispiel der Funktionalität der räumlichen Gewichte:
- Zur Signifikanz von Clustern Link/URL
Bildung von Merkmalsklassen
- Um Daten in thematischen Karten übersichtlich darstellen zu können, werden die Regionen nach einem bestimmten Merkmal in Größenklassen eingeteilt. Diese können unterschiedlich definiert werden:
  
  Gleichverteilung: In jeder Größenklasse sind gleich viele Regionen.
  Bei einer Einteilung in vier Klassen ist eine Unterscheidung in Quantile ("Viertel") damit leicht möglich.
  
  Äquidistante Klasseneinteilung - gleiches Intervall: Jede Klasse ist gleich breit, d. h. die Klassengrenze haben konstanten Abstand.
  
  "Natürliche" Klassen: Der Computer schlägt eine Klasseneinteilung vor, sodass die Grenzen in "Lücken" zwischen den einzelnen Werten liegen.
  
  Manuelle Einteilungen: Oft erscheint es sinnvoll, die Klassengrenzen manuell so zu setzen, dass sie in "Lücken" zwischen den einzelnen Werten liegen oder statistische Ausreißer in eigene Klassen gesetzt werden.
  Bei individuellen Einteilungen spielen die persönlichen Interessen des Akteurs eine wesentliche Rolle.
- Beispiel zur Klassenwahl: Bevölkerung österreichischer Gemeinden Link/URL
  Wählen Sie die Option In Map-Viewer öffnen.
  Zunächst zeigt die Karte alle Gemeinden Österreichs, farblich nach Bundesland unterschieden.
  
  Mit dem Werkzeug Style ändern sind weitere Eingaben möglich.
  in
  
  Zunächst als Attribut die Einwohnerzahl einstellen.
  
  Dann die Optionen des Darstellungsstils ändern.
  
  Daten klassifizieren auswählen, die Anzahl der Klassen und die Art der Klassifizierung festlegen.
  
  Natürliche Unterbrechung: An "Lücken" in den Datenwerten werden Klassengrenzen gesetzt.
  
  Gleiches Intervall: Die Klassen sind alle gleich breit.
  
  Standardabweichung: Die Klasseneinteilung folgt dem Streuungsmaß.
  
  Quantil: In jeder Klasse sind gleich viele Regionen.
  
  Manuelle Unterbrechung
  
  Mit Klick auf die Zahlen (Klassengrenzen) neben dem Diagramm werden diese manuell eingestellt .
  
  Mit OK und Fertig abschließen
  
  Die Sinnhaftigkeit dieser Darstellungsform, die Art der Karte bzw. des Kartogramms, werden wir im Lernkurs Thematische Kartographie diskutieren. Im Moment genügt die Standardeinstellung, welche einen schnellen optischen Eindruck liefert.
  
  Die Daten wurden von Robert Vogler (2016 - Universität Salzburg) zusammengestellt. Herzlichen Dank!
Quizfragen
- Stellen sie sicher, nach Abschluss dieser Lektion die nachstehenden Beispielsfragen beantworten zu können.
  
  Analysieren Sie verschiedenen Variable nach der Zugehörigkeit zu den vier Skalenniveaus. Welche Argumente sprechen dafür, welche dagegen?
  
  Analysieren Sie die Zuordnung einer Variable zu "stetig" oder "kontinuierlich". Welche Argumente sprechen dafür, welche dagegen?
  
  Analysieren Sie die Bestimmung eines passenden Mittelwertes für Variablen und berechnen Sie diese.
  
  Analysieren Sie die Bestimmung eines passenden Streuparameters für Variablen.
  
  Beschreiben Sie die Bestimmung eines Korrelationskoeffizienten für zwei Variable i.A.
  
  Analysieren Sie das Verhältnis von Korrelation, Scheinkorrelation und Begründungszusammenhang.
  
  Beschreiben Sie die Muster dreier Ausprägungen räumlicher Korrelationen bzw. Nicht-Korrelationen.
  
  Beschreiben Sie vier Möglichkeiten für Klassenbildungen einer Variable für die Gestaltung thematischer Karten.
  
  Analysieren Sie die Klassenbildung für einen Datenbestand.